ESTADISTICA
DEFINICION:
TIPOS DE ESTADISTICA
- La estadística
descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos
originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser
resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros
estadísticos son: la media y la desviación estándar.
Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide
poblacional, gráfico circular, entre otros.
- La estadística
inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y
predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta
la aleatoriedad de las observaciones. Se usa
para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca
de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la
forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones
de unas características numéricas (estimación), pronósticos de
futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o
modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras
técnicas de modelamiento incluyen anova, series de
tiempo y minería de datos.
SITUACIONES BÁSICAS DE
PROBABILIDAD
La teoría de conjuntos es una rama
de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los
conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
TEORÍA BASICA DE CONJUNTOS
La
teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del
lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos
como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una
colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos
elementos pertenece al conjunto, y esta noción
de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los
propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.
La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se
indica como a ∈ A.
Ejemplos:
Una relación entre conjuntos derivada
de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es
un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Existen
unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus
elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el
álgebra de conjuntos:
·
Intersección. La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B.
·
Diferencia. La diferencia entre dos
conjuntos A y B es el conjunto A \ B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
·
Complemento. El complemento de un conjunto A es
el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de
algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
·
Diferencia
simétrica La diferencia
simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
·
Producto
cartesiano. El producto
cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos
los pares ordenados (a, b) cuyo primer
elemento a pertenece a A y su segundo
elemento b pertenece a B.
TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos «informal» o
«elemental» apela a la intuición para determinar cómo se comportan los
conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las
propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera,
como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las
razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos,
siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los
conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para
ser demostrados.
- La
teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenke
- La teoría
de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
- La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
TÉCNICAS DE CONTEO
Las
técnicas de conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar.
a) si se desea que estas consten solo de
alumnos de Ingeniería Química?
-¿Cuántas
maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos
licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de
lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de
licuadoras?
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si se
desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de
la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas,
el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o
formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
Ejemplos:
PRINCIPIO ADITIVO
Si se
desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o
formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
PERMUTACIÓN
Llamamos permutación a
una variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto. (
el orden si importa)
La definición intuitiva de P
Una permutación de un conjunto X es
una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.
Para ilustrar la
definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo
- 1 → 1
- 2 → 2
- 3 → 3
puede hacerse
corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
- 1 → 3
- 2 → 2
- 3 → 1
puede hacerse
corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
COMBINACIONES
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como
números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
- imaginemos
que el orden sí importa (permutaciones),
- después
lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que
queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
El orden importa
El orden no
importa
1 2 3
1 2 3
Así
que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
Esta
fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis,
así:
N!/r!(n-r)!= (n/r)
donde n es
el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas
Y se la
llama "coeficiente binomial".
C(n°r)= nCr = nCr = (n/r)
Ejemplo
16!
=
16!
=
20,922,789,888,000
= 560
3!(16-3)!
3!×13!
6×6,227,020,800
O lo
puedes hacer así:
16×15×14
=
3360
= 560
3×2×1
6
DEFINICION:
Es una ciencia formal que
estudia la recolección, análisis e interpretación de datos de una
muestra representativa, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o
para explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio
aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin
embargo, la estadística es más que eso, es decir, es el vehículo que permite
llevar a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.
TIPOS DE ESTADISTICA
- La estadística
descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y resumen de datos
originados a partir de los fenómenos de estudio. Los datos pueden ser
resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de parámetros
estadísticos son: la media y la desviación estándar.
Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide
poblacional, gráfico circular, entre otros.
- La estadística
inferencial, se dedica a la generación de los modelos, inferencias y
predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta
la aleatoriedad de las observaciones. Se usa
para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca
de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la
forma de respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones
de unas características numéricas (estimación), pronósticos de
futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o
modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Otras
técnicas de modelamiento incluyen anova, series de
tiempo y minería de datos.
SITUACIONES BÁSICAS DE
PROBABILIDAD
TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una rama
de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los
conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
Además,
la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo
como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los
conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos
de propiedades indemostrables o contradictorias, como
la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal
inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran
medida en la lógica matemática.
TEORÍA BASICA DE CONJUNTOS
La
teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del
lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos
como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una
colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos
elementos pertenece al conjunto, y esta noción
de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los
propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos.
La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se
indica como a ∈ A.
Ejemplos:
·
Los
conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números
naturales N, el de los números enteros Z, el de
los números racionales Q, el de los números reales R y
el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del
siguiente:
·
El
espacio tridimensional E3 es un conjunto de
objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son
conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
Una relación entre conjuntos derivada
de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es
un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Existen
unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus
elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el
álgebra de conjuntos:
·
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es
el conjunto A ∪ B que
contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos
·
Intersección. La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B.
·
Diferencia. La diferencia entre dos
conjuntos A y B es el conjunto A \ B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
·
Complemento. El complemento de un conjunto A es
el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de
algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
·
Diferencia
simétrica La diferencia
simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
·
Producto
cartesiano. El producto
cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos
los pares ordenados (a, b) cuyo primer
elemento a pertenece a A y su segundo
elemento b pertenece a B.
TEORÍA AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos «informal» o
«elemental» apela a la intuición para determinar cómo se comportan los
conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las
propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera,
como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las
razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos,
siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los
conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para
ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos
son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar
todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos
ejemplos conocidos son:
- La
teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenke
- La teoría
de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
- La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
TÉCNICAS DE CONTEO
Las
técnicas de conteo son aquellas que son usadas para
enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Ejemplos
en los que definitivamente haremos uso de las técnicas de conteo serían:
-¿Cuántas
representaciones de alumnos pueden ser formadas
a) si se desea que estas consten solo de
alumnos de Ingeniería Química?
b) si se desea que el presidente sea un
químico?,
c) se desea que el presidente y tesorero sean
químicos? Para todos los casos, se desea que las representaciones consten de
once alumnos.
-¿Cuántas
maneras tiene una persona de seleccionar una lavadora, una batidora y dos
licuadoras, si encuentra en una tienda 8 modelos diferentes de
lavadoras, 5 modelos diferentes de batidoras y 7 modelos diferentes de
licuadoras?
Se les denomina
técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de
árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos
proporcionan la información de todas las maneras posibles en
que ocurre un evento determinado.
Las bases
para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo
y el
aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si se
desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de
la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas,
el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o
formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x
N2 x ..........x Nr maneras o formas
El
principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad
deben ser llevados a efecto, uno tras otro.
Ejemplos:
1)
Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir
los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block
de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o
ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y
por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras
tiene esta persona de construir su casa?
Solución:
Considerando que r = 4 pasos
N1= maneras de hacer cimientos = 2
N2= maneras de construir paredes = 3
N3= maneras de hacer techos = 2
N4= maneras de hacer acabados = 1
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de
construir la casa
PRINCIPIO ADITIVO
Si se
desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser
realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M
maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas
..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o
formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N +
.........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1)
Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que
puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General
Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de
la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en
cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática,
mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8,
11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o
semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de
carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay
semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar
una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar
una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora
de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de
seleccionar una lavadora
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
PERMUTACIÓN
Llamamos permutación a
una variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto. (
el orden si importa)
Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3},
cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación.
Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3",
"1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y
"3,2,1".
La definición intuitiva de P
|
Una permutación de un conjunto X es
una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.
|
Para ilustrar la
definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo
,X={1, 2, 3}.
Entonces, cada
correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una
forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la
asignación biyectiva dada por
- 1 → 1
- 2 → 2
- 3 → 3
puede hacerse
corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la
asignación biyectiva dada por
- 1 → 3
- 2 → 2
- 3 → 1
puede hacerse
corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de
permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual
puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso
en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
COMBINACIONES
Hay dos
tipos de combinaciones (ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como
números de lotería (2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En
realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así funciona la lotería. Los números se eligen de
uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces
has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
- imaginemos
que el orden sí importa (permutaciones),
- después
lo cambiamos para que el orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que
queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros,
porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2
y 3. Las posibilidades son:
|
El orden importa
|
El orden no
importa
|
|
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
|
1 2 3
|
Así
que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De
hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se
pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! =
3 × 2 × 1 = 6
(Otro
ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 =
24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así
que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por
las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa
ordenarlos):
Esta
fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis,
así:
|
||||
|
donde n es
el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de
ellas
(No se puede
repetir, el orden no importa)
|
Y se la
llama "coeficiente binomial".
Notación
Además
de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
C(n°r)= nCr = nCr = (n/r)
Ejemplo
Entonces,
nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
|
16!
|
=
|
16!
|
=
|
20,922,789,888,000
|
= 560
|
|
3!(16-3)!
|
3!×13!
|
6×6,227,020,800
|
O lo
puedes hacer así:
|
16×15×14
|
=
|
3360
|
= 560
|
|
3×2×1
|
6
|
